น้อง ๆ หลายคนอาจจะเคยได้เรียนเรื่อง “ การแยกตัวประกอบของพหุนาม” กันมาบ้างแล้วตั้งแต่ช่วง ม.ต้น ซึ่งเรื่องนี้เป็นอีกเรื่องที่สำคัญในการต่อยอดเนื้อหาคณิต ม.ปลาย ไม่ว่าจะเป็นเรื่อง จำนวนจริง ภาคตัดกรวย ฟังก์ชัน และแคลคูลัส
วันนี้พี่ก็จะพาน้อง ๆ มาทบทวนเนื้อหาและสูตรต่าง ๆ เพื่อปรับพื้นฐานเตรียมความพร้อมสำหรับเนื้อหาใน ม.ปลาย
ใครยังไม่แม่นเรื่องการแยกตัวประกอบพหุนาม บอกเลยว่าต้องอ่านจนจบ เพราะนอกจากเนื้อหาพร้อมตัวอย่างแล้ว
พี่ยังมีสรุปสูตรสำคัญให้อีกด้วย อย่ารอช้า เล่ือนลงไปดูกันนน !!
ถ้าพูดถึง “การแยกตัวประกอบของพหุนาม” อาจนึกถึงความรู้ที่อยู่ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับ ม.ต้น เช่น พหุนาม การแก้สมการกำลังสอง และฟังก์ชันกำลังสอง รวมถึงเนื้อหาคณิตม.ปลาย ตามที่พี่กล่าวไปข้างต้น
ซึ่งในอนาคตของน้องการแยกตัวประกอบของพหุนามนี้เองจะเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ในหัวข้อที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น บทความนี้พี่จะพาน้อง ๆ มาทบทวนเพื่อให้เข้าใจกันชัด ๆ ว่าการแยกตัวประกอบของพหุนามคืออะไร ?
และมีเทคนิคหรือสูตรพื้นฐานไหนที่เราจำเป็นต้องรู้บ้าง
ความหมายของการแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปการคูณกันของพหุนามตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป
พิจารณาผลคูณของพหุนาม x+3 กับ x+4
จะได้ว่า (x+3)(x+4)= x^{2}+(4)(x)+(3)(x)+(4)(3)
=x^{2}+7x+12
ดังนั้น พหุนาม x^2+7x+12 จะแยกตัวประกอบได้เป็น (x+3)(x+4)
จากการกระจายพหุนามดังกล่าว จะพบว่าการแยกตัวประกอบของพหุนามคือการทำขั้นตอนย้อนกลับของ
การคูณพหุนาม
วิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
ในหัวข้อนี้ พี่จะขอแบ่งพหุนามดีกรีสองออกเป็น 3 รูปแบบ โดยแต่ละแบบใช้วิธีการแยกตัวประกอบที่แตกต่างกันดังนี้
รูปแบบที่ใช้การดึงตัวร่วมได้
สมบัติการแจกแจง (การดึงตัวร่วม)
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนใด ๆ
จะได้ว่า ab+ac=a(b+c) หรือ ba+ca=(b+c)a
จากสมบัติข้างต้นเราจะเรียก a ว่าเป็นตัวคูณร่วมหรือเรียกสั้น ๆ ว่าตัวร่วมนั่นเอง หรือถ้าน้อง ๆ ดูสมบัติแล้ว
ยังรู้สึกสงสัยอยู่ เรามาดูตัวอย่างเพื่อเพิ่มความเข้าใจกันดีกว่า
ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x^2+4x
วิธีทำ จะสังเกตได้ว่าทั้งสองพจน์ที่โจทย์กำหนดมี x เป็นตัวร่วม
ดังนั้น x^2+4x=x(x+4)
ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 2x^{2}y+4y^{2}x
วิธีทำ จะสังเกตได้ว่าทั้งสองพจน์ที่โจทย์กำหนดมี 2xy เป็นตัวร่วม
ดังนั้น 2x^{2}y+4y^{2}x=2xy(x+2y)
รูปแบบ x^2+bx+c
หากน้อง ๆ ลองสังเกตผลคูณของพหุนาม x+4 กับ x+2
(x+4)(x+2)=x^{2}+(2)(x)+(4)(x)+(4)(2)
=x^{2}+6x+8 จะเห็นว่า
- พจน์หน้าของผลลัพธ์เกิดจากการคูณกันระหว่าง x กับ x
- พจน์กลางของผลลัพธ์เกิดจากการบวกกันระหว่าง x คูณกับ 4 และ x คูณกับ 2
- พจน์หลังของผลลัพธ์เกิดจากการคูณกันระหว่าง 4 กับ 2
แสดงว่า
ถ้าเราจะแยกตัวประกอบของ x^{2}+6x+8 เราจะต้องหาจำนวนใด ๆ สองจำนวนที่
- คูณกันได้เท่ากับพจน์หลังของผลลัพธ์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 8 และ
- บวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของพจน์กลางของผลลัพธ์ คือ 6
สรุปได้ว่า
สำหรับพหุนามดีกรีสองในรูป x^2+bx+c เมื่อ b, c เป็นจำนวนใด ๆ และ c\neq0
ถ้า m และ n เป็นจำนวนสองจำนวน ซึ่ง mn=c และ m+n=b
จะได้ว่า x^2+bx+c=(x+m)(x+n)
ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ x^2+3x+2
วิธีทำ จากหลักการข้างต้น จะต้องหาจำนวน 2 จำนวนที่
- บวกกันได้ 3
- คูณกันได้ 2
เนื่องจาก 2+1=3 และ 2\times1=2
แสดงว่า x^2+3x+2=x^2+(3)x+(2)
=x^2+[(2)+(1)]x+(2)(1)
ดังนั้น x^2+3x+2=(x+2)(x+1)
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ x^2+3x-4
วิธีทำ จากหลักการข้างต้น จะต้องหาจำนวน 2 จำนวนที่
- บวกกันได้ 3
- คูณกันได้ -4
เนื่องจาก 4+(-1)=3 และ 4\times(-1)=-4
แสดงว่า x^2+3x-4=x^2+(3)x+(-4)
=x^2+[(4)+(-1)]x+(4)(-1)
ดังนั้น x^2+3x-4=(x+4)(x-1)
รูปแบบ ax^2+bx+c เมื่อ a>1
ลองสังเกตผลคูณของพหุนาม 2x+3 กับ x+2
(2x+3)(x+2)=(2)(1)x^{2}+(3)(1)(x)+(2)(2x)+(3)(2)
=2x^{2}+7x+6
ดังนั้น แยกตัวประกอบของ 2x^2+7x+6 ได้ดังนี้
2x^2+7x+6=(2x+3)(x+2)
จากผลคูณข้างต้น ถ้าเราลองสมมติให้ 2x^2+7x+6=(หัว + ท้าย) (หัว + ท้าย) แสดงว่า เราต้องหาจำนวนที่
- หัวคูณกับหัว เท่ากับ 2
- ท้ายคูณท้าย เท่ากับ 6
- ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล เท่ากับ 7 (หรือหัวท้าย + ท้ายหัว)
ดังนั้น ถ้าหาจำนวนตามเงื่อนไขทั้ง 3 ได้ ก็จะสามารถแยกตัวประกอบพหุนามของรูปแบบ ax^2+bx+c ได้ เราลองมาดูตัวอย่างเพิ่มเติมกันเลยยย
ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 3x^2-14x-5
วิธีทำ จากหลักการข้างต้น จะต้องหาจำนวน 4 จำนวนที่
- หัวคูณกับหัว เท่ากับ 3
- ท้ายคูณท้าย เท่ากับ -5
- ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล เท่ากับ -14
เนื่องจาก 3\times1=3 1\times(-5)=-5 และ (3)(-5)+(1)(1)=14
แสดงว่า 3x^2-14x-5=(3)x^2+(-14)x+(-5)\\=(3)(1)x^2+[(3)(-5)+(1)(1)]x+(-5)(1)
ดังนั้น 3x^2-14x-5=(3x+1)(x-5)
ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ 2x^2+13x-7
วิธีทำ จากหลักการข้างต้น จะต้องหาจำนวน 4 จำนวนที่
- หัวคูณกับหัว เท่ากับ 2
- ท้ายคูณท้าย เท่ากับ -7
- ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล เท่ากับ 13
เนื่องจาก 2\times1=2 (-1)\times7=-7 และ (2)(7)+(-1)(1)=13
แสดงว่า 2x^2+13x-7=(2)x^2+(13)x+(-7)\\=(2)(1)x^2+[(2)(7)+(-1)(1)]x+(-1)(7)
ดังนั้น 2x^2+13x-7=(2x-1)(x+7)
สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามที่ควรรู้
ในหัวข้อที่แล้วน้อง ๆ ได้เรียนเกี่ยวกับพื้นฐานของการแยกตัวประกอบของพหุนาม แต่ในหัวข้อนี้เราจะทำให้
การแยกตัวประกอบของพหุนามบางรูปแบบง่ายขึ้นโดยใช้สูตรที่พี่จะให้ต่อไปนี้
สูตร ผลต่างของกำลังสอง
สูตร ผลต่างของกำลังสอง
กำหนดให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง
จะได้ว่า A^2-B^2=(A+B)(A-B)
ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ x^2-16
วิธีทำ พิจารณา x^2-16=(x)^2-(4)^2
แสดงว่า x เป็นพจน์หน้า และ 4 เป็นพจน์หลัง
จะได้ว่า x^2-16=(x-4)(x+4)
ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ 9x^2-25
วิธีทำ พิจารณา 9x^2-25=(3x)^2-(5)^2
แสดงว่า 3x เป็นพจน์หน้า และ 5 เป็นพจน์หลัง
จะได้ว่า 9x^2-25=(3x-5)(3x+5)
สูตร กำลังสองสมบูรณ์
สูตร กำลังสองสมบูรณ์
กำหนดให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะได้ว่า
A^2+2AB+B^2=(A+B)^2
A^2-2AB+B^2=(A-B)^2
ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบของ x^2+2x+1
วิธีทำ พิจารณา x^2+2x+1=(x)^2+2(x)(1)+(1)^2
แสดงว่า x เป็นพจน์หน้า และ 1 เป็นพจน์หลัง
จะได้ว่า x^2+2x+1=(x+1)^2
ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบของ x^2-6x+9
วิธีทำ พิจารณา x^2-6x+9=(x)^2-2(x)(3)+(3)^2
แสดงว่า x เป็นพจน์หน้า และ 3 เป็นพจน์หลัง
จะได้ว่า x^2-6x+9=(x-3)^2
สูตร ผลบวกของกำลังสาม
สูตร ผลบวกของกำลังสาม
กำหนดให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะได้ว่า
A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)
ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบของ x^3+8
วิธีทำ พิจารณา x^3+8=(x)^3+(2)^3
แสดงว่า x เป็นพจน์หน้า และ 2 เป็นพจน์หลัง
จะได้ว่า x^3+8=(x+2)(x^{2}-2x+4)
ตัวอย่างที่ 12 จงแยกตัวประกอบของ 27x^3+64
วิธีทำ พิจารณา 27x^3+64=(3x)^3+(4)^3
แสดงว่า 3x เป็นพจน์หน้า และ 4 เป็นพจน์หลัง
จะได้ว่า 27x^3+64=(3x+4)(9x^{2}-12x+16)
สูตร ผลต่างของกำลังสาม
สูตร ผลต่างของกำลังสาม
กำหนดให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะได้ว่า
A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)
ตัวอย่างที่ 13 จงแยกตัวประกอบของ x^3-125
วิธีทำ พิจารณา x^3-125=(x)^3-(5)^3
แสดงว่า x เป็นพจน์หน้า และ 5 เป็นพจน์หลัง
จะได้ว่า x^3-125=(x-5)(x^{2}+5x+25)
ตัวอย่างที่ 14 จงแยกตัวประกอบของ 8x^3-27
วิธีทำ พิจารณา 8x^3-27=(2x)^3-(3)^3
แสดงว่า 2x เป็นพจน์หน้า และ 3 เป็นพจน์หลัง
จะได้ว่า 8x^3-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)
สรุปสูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามที่ควรรู้
จากสูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามทั้ง 4 สูตรนั้น พี่ขอสรุปให้น้อง ๆ จำแบบง่าย ๆ ได้ตามนี้เลยยย
และนี่คือเนื้อหาพื้นฐานการแยกตัวประกอบของพหุนามทั้งหมดที่พี่ได้รวบรวมมาให้น้อง ๆ ในวันนี้น้าา หวังว่ามันจะช่วยในการปรับพื้นฐานเนื้อหา ม.ต้น เตรียมพร้อมสำหรับ ม.ปลาย และเตรียมตัวสอบเข้ามหาลัยฯ ให้น้อง ๆ ได้
สำหรับใครที่ยังรู้สึกว่าเนื้อหาคณิตศาสตร์ดูเป็นเรื่องยาก กลัวเรียนไม่รู้เรื่อง พี่ขอบอกเลยว่าถ้าเรามีพื้นฐานที่ดี ทบทวนบทเรียนและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ก็จะทำให้เข้าใจในเนื้อหามากขึ้น แต่ถ้าใครยังกังวล กลัวว่าถ้าทบทวนเองแล้วจะไม่เข้าใจ
จนทำให้เรียนบทอื่นต่อไม่ได้ อยากได้คนช่วยไกด์
พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%
โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4 ม.5 ม.6) หลักสูตรใหม่ เรียนเรื่องอะไรบ้าง ?
สรุป แยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง ม.3 พร้อมโจทย์+เฉลย
ตรีโกณมิติ ม.5 สรุปสูตรพร้อมแจกโจทย์แบบจัดเต็ม !!
เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย ม.4 สรุปเนื้อหาพร้อมตัวอย่างโจทย์
จำนวนจริง ม.4 สรุปครบม้วนเดียวจบ พร้อมแจกโจทย์จำนวนจริงและวิธีทำ
แคลคูลัส ม.6 สรุปเนื้อหา โจทย์แคลคูลัสพร้อมวิธีทำ และคลิปติวฟรี
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4 ม.5 ม.6) หลักสูตรใหม่ เรียนเรื่องอะไรบ้าง ?
สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม รวมถึงติดตามข่าวสารต่าง ๆ ที่อัปเดตอย่างเรียลไทม์ ได้ที่
Line : @smartmathpronews
FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น
IG : pan_smartmathpro
X : @PanSmartMathPro
Tiktok : @pan_smartmathpro
Lemon8 : @pan_smartmathpro
